08 / Atlante delle forme

Atlante delle forme.

Superfici, reti, onde e frattali. Un repertorio esplorabile, con formule e limiti espliciti.

Le figure sono raccolte per argomento affinché, passando da una superficie a un grafo o a una rappresentazione probabilistica, tu possa confrontare il modo in cui la geometria rende leggibili relazioni differenti; aprendo ciascuna scheda trovi una traccia di osservazione, la formula e i limiti entro i quali interpretare il modello.

Tre esperimenti interattivi ↗

Sicurezza e interpretabilità

Teoria dei grafi e cyber-attacchi

Nodo non colpitoNodo compromesso

Quando dispositivi, servizi e identità vengono descritti attraverso le relazioni che li collegano, la sicurezza di un sistema può essere studiata come un problema di struttura, nel quale conta sia la presenza di una vulnerabilità sia il percorso attraverso cui quella debolezza potrebbe rendere raggiungibili altre risorse.

Dalle connessioni ai percorsi d’attacco

Un grafo G = (V, E) raccoglie un insieme di vertici V e un insieme di archi E: in una rappresentazione della rete, i vertici possono corrispondere a dispositivi o servizi, mentre gli archi descrivono connessioni, dipendenze o relazioni di fiducia. Un grafo d’attacco introduce invece condizioni, azioni o stati del sistema, secondo il modello adottato, per esaminare come più passaggi possano concatenarsi fino a una compromissione.

G = (V, E)

La somiglianza con una diffusione epidemica aiuta a seguire il passaggio da un nodo agli altri, purché si tenga conto delle condizioni che permettono ciascuna transizione: credenziali, autorizzazioni, vulnerabilità e configurazioni determinano quali percorsi siano effettivamente praticabili, mentre la sola esistenza di un collegamento descrive una possibilità di comunicazione.

Come orientare la difesa

L’analisi dei cammini permette di riconoscere quali risorse potrebbero essere raggiunte da un punto iniziale e quali connessioni costituiscano passaggi decisivi; confrontando il grafo prima e dopo una modifica, si può studiare come la segmentazione della rete, la riduzione dei privilegi o la correzione di una vulnerabilità interrompano determinate sequenze. L’importanza di un nodo dipende dal suo ruolo e dal contesto, per cui il numero di collegamenti, considerato da solo, offre una descrizione parziale del rischio.

Il significato della figura

I nodi rossi, contrassegnati da una croce, indicano i sistemi colpiti nello scenario rappresentato; quelli verdi restano estranei alla compromissione, mentre gli impulsi chiari seguono i percorsi della propagazione. La mappa fornisce una disposizione geografica convenzionale a una rete illustrativa, le cui connessioni e i cui tempi sono costruiti per rendere leggibile il fenomeno: la figura non mostra attacchi osservati e non stima probabilità di compromissione.

Riferimenti

Sheyner et al. — Automated Generation and Analysis of Attack Graphs, Carnegie Mellon University

NIST IR 7788 — Security Risk Analysis of Enterprise Networks Using Probabilistic Attack Graphs

Cartografia Natural Earth — dati di pubblico dominio

Grafo probabilistico

Le variabili sono disposte in tre comunità reticolari, fra le quali alcuni archi color ambra rendono riconoscibili i collegamenti, affinché la rotazione permetta di seguire le dipendenze interne a ciascun gruppo e quelle che mettono in relazione gruppi differenti.

Formula, descrizione e fonti

Sicurezza e XAI

Osserva la figura

Segui gli archi color ambra fra le tre comunità, poi osserva come le connessioni interne diventino distinguibili cambiando punto di vista; i piccoli nodi identificano le variabili, mentre la trama sottostante aiuta a percepire la profondità della disposizione.

Legenda della figura

Verde — connessioni interne alle comunità
Ambra — collegamenti fra comunità e loro estremi
Chiaro — nodi che rappresentano le variabili

Formula o costruzione

P(s) = Z⁻¹ exp( ∑ᵢ hᵢsᵢ + ∑₍ᵢ,ⱼ₎∈E Jᵢⱼsᵢsⱼ )
sᵢ ∈ {−1, +1}

Lettura della relazione

La probabilità della configurazione s è l’esponenziale della somma dei termini locali h per s e delle interazioni J per le coppie di stati, diviso per la costante di normalizzazione Z; ciascuno stato vale meno uno o più uno.

Come leggere il modello

La formula descrive un modello di Ising su un grafo, nel quale Z normalizza le probabilità e i coefficienti hᵢ e Jᵢⱼ regolano i termini locali e le interazioni. Le tre comunità, ciascuna composta da 42 nodi, e i sei collegamenti fra comunità sono una costruzione illustrativa; la disposizione poliedrica, le distanze e i colori servono alla lettura della connettività, senza attribuire valori ai parametri del modello.

Lavori di Marzio De Corato su modelli grafici ↗

Percorsi di esecuzione

I blocchi di un programma formano un’architettura di percorsi diretti, nella quale una diramazione apre tre possibilità che tornano a convergere, mentre il tracciato color ambra permette di seguire una delle sequenze ammesse e di riconoscere il verso indicato dalle frecce.

Formula, descrizione e fonti

Cybersecurity

Osserva la figura

Parti dal blocco di ingresso e segui le frecce lungo il percorso color ambra, quindi confrontalo con gli altri due rami, osservando dove le possibilità si separano e dove tornano a condividere il cammino verso l’uscita.

Legenda della figura

Verde — blocchi e percorsi alternativi
Ambra — percorso scelto, ingresso e uscita

Formula o costruzione

G = (V, E)
Aᵢⱼ = 1 se esiste un arco i → j, altrimenti 0

Lettura della relazione

Il grafo G comprende vertici V e archi E; la matrice di adiacenza ha elemento uno quando un arco collega il vertice i al vertice j, e zero negli altri casi.

Come leggere il modello

Il grafo, costruito per illustrare un insieme di percorsi di esecuzione, comprende dieci blocchi e undici archi diretti. La posizione dei blocchi e il percorso evidenziato sono scelte illustrative: la figura non deriva da un malware e la matrice A descrive la connettività, senza assegnare probabilità ai passaggi. I grafi di programmi reali possono includere cicli, che questo esempio lascia fuori dalla rappresentazione.

Saggio: Colpire i nervi del sistema ↗

Superficie di decisione

La maglia segue una funzione che associa alle due variabili un valore compreso fra zero e uno, mentre tre curve di livello ne rendono leggibile l’andamento e la linea color ambra individua la soglia di classificazione, la cui curvatura dipende dal termine di interazione xy.

Formula, descrizione e fonti

Intelligenza artificiale

Osserva la figura

Osserva il modo in cui la maglia si incurva e segui la soglia color ambra, confrontandola con le altre due curve di livello; cambiando orientamento puoi distinguere l’altezza della funzione dalla posizione delle variabili nel piano.

Legenda della figura

Verde — maglia della funzione decisionale
Ambra — soglia p = 0.5
Chiaro — curve di livello p = 0.2 e p = 0.8

Formula o costruzione

p(x,y) = 1 / (1 + exp[−(1.2x − 0.5y + 0.45xy)])
Confine di classificazione: p(x,y) = 0.5

Lettura della relazione

La probabilità è uno diviso per uno più l’esponenziale dell’opposto di uno virgola due x meno zero virgola cinque y più zero virgola quarantacinque x y; il confine rappresentato corrisponde a probabilità un mezzo.

Come leggere il modello

La superficie è un esempio analitico, definito nel dominio −2.1 ≤ x ≤ 2.1 e −1.7 ≤ y ≤ 1.7, con altezza visualizzata pari a 2.5(p − 0.5). Le curve corrispondono a p = 0.2, p = 0.5 e p = 0.8; quella centrale è evidenziata in ambra. Il modello è illustrativo e privo di addestramento su dati, per cui la rappresentazione permette di leggere una regola decisionale senza attribuirle un significato causale.

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Ricerca sull’interpretabilità ↗

Regolarità di una traccia

Una curva continua raccoglie tre valori della medesima serie temporale, separati da un ritardo fisso, attraverso i quali ricorrenze e irregolarità assumono una forma spaziale; il campionamento più fitto e la sezione tubolare permettono di seguire il percorso anche dove la proiezione sovrappone tratti che restano distinti nello spazio.

Formula, descrizione e fonti

Cybersecurity e serie temporali

Osserva la figura

Segui la curva fra i due estremi color ambra, osservando i tratti che tornano vicini e quelli che si allontanano, quindi ruota la figura per distinguere gli incroci della proiezione dalla continuità del percorso nello spazio dei ritardi.

Legenda della figura

Verde — curva nello spazio dei ritardi
Ambra — inizio e fine del tratto rappresentato
Chiaro — campioni di riferimento lungo il percorso

Formula o costruzione

s(t) = sin(t) + 0.34 sin(3.3t) + 0.07 sin(19t)
v(t) = (s(t), s(t+τ), s(t+2τ)),  τ = 6·7π/179
SampEn(m,r) = −ln[A(m,r) / B(m,r)]

Lettura della relazione

La serie s è una somma di tre sinusoidi; il vettore v raccoglie tre valori separati dal ritardo tau, pari a sei intervalli della griglia originale. L’entropia campionaria è l’opposto del logaritmo naturale del rapporto fra A e B, definiti per dimensione m e tolleranza r.

Come leggere il modello

La serie è una somma sintetica di sinusoidi. Il ritardo conserva la distanza di sei campioni della griglia originale, composta da 180 punti fra 0 e 7π, mentre i 601 punti della curva servono a visualizzare con continuità la stessa costruzione; le coordinate sono moltiplicate per 1.22 prima della normalizzazione grafica. Lo spessore del tubo e i colori facilitano la lettura del percorso. SampEn introduce l’entropia campionaria: A e B contano le coppie di sequenze simili di lunghezza m+1 e m, con la stessa convenzione di confronto ed escludendo gli auto-confronti. Qui non viene stimato alcun valore di SampEn.

Richman e Moorman, 2000 ↗

Quantum e post-quantum computing

Sfera di Bloch

Un punto sulla sfera rappresenta uno stato puro di un qubit, a meno di una fase globale. Il vettore evidenziato sceglie uno stato; meridiani e paralleli aiutano a leggere le due coordinate angolari.

Formula, descrizione e fonti

Quantum computing

Osserva la figura

Segui la freccia color ambra fino allo stato puro rappresentato e confrontala con gli archi angolari, i meridiani e i paralleli, mentre la rotazione permette di distinguere l’orientamento della sfera dal cambiamento dello stato quantistico.

Legenda della figura

Ambra — vettore di stato e archi θ, φ
Azzurro — meridiani della sfera
Verde — paralleli della sfera
Chiaro — assi di riferimento

Formula o costruzione

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + exp(iφ) sin(θ/2)|1⟩
r = (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ)

Lettura della relazione

Lo stato è il coseno di metà theta per lo stato zero, più l’esponenziale di i phi per il seno di metà theta per lo stato uno; il vettore ha coordinate seno theta coseno phi, seno theta seno phi e coseno theta.

Come leggere il modello

La rotazione del visualizzatore cambia il punto di vista, non applica una porta al qubit. Gli stati misti occupano l’interno della sfera. Questa rappresentazione non descrive uno stato arbitrario di più qubit.

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IBM Quantum — Bloch sphere ↗

Sovrapposizione di onde

Le creste e le depressioni derivano dalla somma di due contributi periodici. La figura introduce visivamente la sovrapposizione, mentre la seconda relazione mostra il termine incrociato da cui dipende l’interferenza fra ampiezze complesse.

Formula, descrizione e fonti

Quantum computing

Osserva la figura

Confronta le creste e le depressioni attraverso il reticolo della superficie e segui le due sezioni centrali, che aiutano a riconoscere la sovrapposizione dei contributi periodici mentre cambi punto di vista su questa singola configurazione del campo.

Legenda della figura

Verde — maglia del campo risultante
Ambra — sezione y = 0
Chiaro — sezione x = 0

Formula o costruzione

f(x,y) = 0.34[cos(3x) + cos(3y)]
|ψ₁ + ψ₂|² = |ψ₁|² + |ψ₂|² + 2 Re(ψ₁*ψ₂)

Lettura della relazione

La superficie somma i coseni di tre x e tre y, moltiplicati per zero virgola trentaquattro; il modulo quadro della somma di due ampiezze comprende i due moduli quadri e due volte la parte reale del prodotto della prima ampiezza coniugata per la seconda.

Come leggere il modello

La superficie è l’istantanea di un campo reale sintetico. Non è una densità di probabilità e non è normalizzata come una funzione d’onda. Il visualizzatore ruota la scena, senza simulare l’evoluzione temporale.

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IBM Quantum — Superposition ↗

Circuito per uno stato di Bell

Due linee rappresentano i qubit. Una trasformazione di Hadamard sul primo, seguita da una porta controllata X, prepara uno stato di Bell a partire da |00⟩. Le forme terminali richiamano i punti di lettura del circuito.

Formula, descrizione e fonti

Quantum computing

Osserva la figura

Segui le due linee da sinistra a destra, riconoscendo il blocco di Hadamard sul primo qubit e il collegamento color ambra fra controllo e bersaglio della porta X, prima dei simboli terminali di lettura; la formula esplicita la sequenza delle operazioni.

Legenda della figura

Azzurro — due fili del circuito
Verde — blocco H e riquadri terminali di lettura
Ambra — controllo, bersaglio X e indicatori terminali

Formula o costruzione

|00⟩ → (H ⊗ I)|00⟩ → CNOT(H ⊗ I)|00⟩
|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩) / √2

Lettura della relazione

Alla coppia di qubit nello stato zero zero si applicano Hadamard al primo qubit e identità al secondo, poi CNOT; il risultato è la somma degli stati zero zero e uno uno, divisa per radice di due.

Come leggere il modello

È una rappresentazione schematica del circuito, non un simulatore di misure o un dispositivo fisico. Il disegno omette le etichette interne per lasciare leggibile la geometria; la sequenza delle operazioni è specificata nella formula.

IBM Quantum — Bits, gates, and circuits ↗

Reticolo e base

Le combinazioni intere di tre vettori generano i punti del reticolo. I segmenti evidenziati distinguono la base dalla rete di punti, offrendo un primo riferimento visivo per parlare di problemi reticolari.

Formula, descrizione e fonti

Post-quantum computing

Osserva la figura

Individua le tre frecce della base e il parallelepipedo evidenziato, quindi segui le traslazioni che generano i punti vicini, ruotando la figura affinché le direzioni che si sovrappongono nella proiezione diventino distinguibili.

Legenda della figura

Chiaro — punti del reticolo
Azzurro — collegamenti fra punti vicini
Verde — bordi della cella scelta
Ambra — tre vettori della base

Formula o costruzione

Λ(B) = {n₁b₁ + n₂b₂ + n₃b₃ : n₁,n₂,n₃ ∈ ℤ}

Lettura della relazione

Il reticolo è l’insieme di tutte le combinazioni dei tre vettori di base con coefficienti interi.

Come leggere il modello

Il modello ha tre dimensioni e un numero finito di punti. Non rappresenta le dimensioni, i parametri o la struttura completa di ML-KEM, né tutti gli approcci alla crittografia post-quantistica. La fonte riguarda il contesto crittografico, non questo reticolo illustrativo.

NIST — ML-KEM ↗

Metodi quantitativi

Traiettorie stocastiche

Le curve rappresentano dodici realizzazioni sintetiche di un moto browniano geometrico. Ogni traiettoria deriva da incrementi casuali; una componente comune introduce dipendenza fra le realizzazioni.

Formula, descrizione e fonti

Finanza quantitativa

Osserva la figura

Segui la traiettoria color ambra e confrontala con le altre undici, osservando le variazioni dei campioni senza attribuire alla separazione laterale un significato economico; il tratto angoloso conserva gli incrementi della costruzione sintetica.

Legenda della figura

Azzurro — insieme delle traiettorie, con toni dal blu al verde
Ambra — una realizzazione scelta come riferimento
Chiaro — estremi finali delle altre traiettorie

Formula o costruzione

dSₜ = μSₜ dt + σSₜ dWₜ
Sₜ = S₀ exp[(μ − σ²/2)t + σWₜ]

Lettura della relazione

La variazione di S contiene un termine di deriva mu S per dt e un termine casuale sigma S per dW; la soluzione moltiplica il valore iniziale per l’esponenziale di mu meno metà sigma al quadrato, per t, più sigma W.

Come leggere il modello

S₀ = 1, μ = 0.07 e σ = 0.32, con seme casuale fissato. Il coefficiente della componente comune degli incrementi è 0.55, quindi la correlazione teorica fra incrementi di traiettorie diverse è 0.55². La separazione laterale distingue le curve: non è una variabile economica. Non sono dati di mercato né previsioni.

Wolfram — GeometricBrownianMotionProcess ↗

Densità gaussiana

La superficie descrive una densità normale bivariata. La correlazione inclina le sezioni della campana: osservare la forma permette di distinguere dispersione e dipendenza fra le due componenti.

Formula, descrizione e fonti

Metodi quantitativi

Osserva la figura

Confronta le sezioni ellittiche della campana, che corrispondono a livelli costanti della densità, e passa dalla vista dall’alto a quella laterale per riconoscere insieme l’orientamento della dispersione e la variazione dell’altezza.

Legenda della figura

Azzurro — maglia della densità
Chiaro — tre ellissi a densità costante
Ambra — quarta ellisse, scelta come riferimento

Formula o costruzione

f(x) = exp[−½(x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ)] / (2π√detΣ)
μ = (0,0),  Σ = [[1,0.55],[0.55,1]]

Lettura della relazione

La densità gaussiana usa nell’esponente meno metà della forma quadratica dello scarto dalla media con l’inversa della covarianza; la normalizzazione è due pi greco per la radice del determinante di sigma.

Come leggere il modello

L’altezza è riscalata come 9f − 0.7 per la visualizzazione. È una distribuzione teorica con parametri dichiarati, non una stima ottenuta da osservazioni.

SciPy — multivariate_normal ↗

Ellissoide di covarianza

L’ellissoide traduce una matrice di covarianza in direzioni e ampiezze spaziali. La sezione evidenziata e gli assi principali aiutano a leggere l’anisotropia, rendendo visibile come la dispersione vari con la direzione.

Formula, descrizione e fonti

Finanza quantitativa

Osserva la figura

Confronta la maglia dell’ellissoide con le tre direzioni principali, determinate dalla matrice di covarianza, e segui la sezione color ambra mentre ruoti la figura, così da distinguere l’estensione dei semiassi dalla loro proiezione sullo schermo.

Legenda della figura

Verde — maglia dell’ellissoide
Chiaro — due direzioni principali
Ambra — direzione di massima dispersione e sezione di riferimento

Formula o costruzione

(x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ) = 1
Σ = TTᵀ,  T = [[1.6,0.5,0.1],[0,0.85,0.24],[0,0,0.65]]

Lettura della relazione

La superficie raccoglie i punti per i quali la forma quadratica dello scarto dalla media, calcolata con l’inversa della covarianza, vale uno; la covarianza è il prodotto della matrice T per la sua trasposta.

Come leggere il modello

Il livello rappresentato è una distanza di Mahalanobis pari a uno. Non indica automaticamente una regione di confidenza del 95%, né una frontiera efficiente di portafogli. La matrice è sintetica e definita positiva.

SciPy — covarianza e densità multivariata ↗

Carbonio, superfici e topologia

Giroide

Passaggi e aperture collegano la superficie nelle tre direzioni dello spazio. Questa forma richiama lo studio di strutture periodiche e di materiali la cui geometria interna influenza le proprietà.

Formula, descrizione e fonti

Fisica e geometria

Osserva la figura

Segui le sezioni luminose che attraversano la superficie e osserva come proseguano intorno ai canali, mentre la rotazione rende visibili i passaggi fra regioni che nella proiezione possono sovrapporsi; il colore ambra distingue una sezione di riferimento della stessa costruzione nodale.

Legenda della figura

Verde — sezioni nei piani x e z costanti
Azzurro — sezioni nei piani y costante
Ambra — sezione di riferimento z = 0

Formula o costruzione

sin(x)cos(y) + sin(y)cos(z) + sin(z)cos(x) = 0

Lettura della relazione

La somma di seno di x per coseno di y, seno di y per coseno di z e seno di z per coseno di x è uguale a zero.

Come leggere il modello

La formula genera un’approssimazione nodale della superficie minima, non il giroide esatto. Il modello mostra una porzione limitata del dominio e non contiene atomi o legami chimici.

Schwarziti e superfici periodiche — ricerca originale ↗

Superficie di Schwarz P

La superficie separa lo spazio in due regioni connesse attraverso aperture periodiche. La simmetria e la curvatura ne fanno un riferimento utile per leggere reti tridimensionali e strutture porose.

Formula, descrizione e fonti

Fisica e topologia

Osserva la figura

Osserva le aperture lungo le tre direzioni e confrontale con le sezioni luminose, seguendo il modo in cui la superficie si raccorda fra un collo e l’altro, mentre la luce mobile aiuta a distinguere la parte vicina da quella che prosegue all’interno.

Legenda della figura

Verde — sezioni nei piani x e z costanti
Azzurro — sezioni nei piani y costante
Ambra — sezione di riferimento z = 0

Formula o costruzione

cos(x) + cos(y) + cos(z) = 0

Lettura della relazione

La somma dei coseni delle tre coordinate x, y e z è uguale a zero.

Come leggere il modello

È la rappresentazione nodale di Schwarz P su un dominio finito; non una soluzione numerica esatta della condizione di curvatura media nulla. La superficie non va confusa con una schwarzite atomistica.

Schwarziti e superfici periodiche — ricerca originale ↗

Superficie di Schwarz D

La trama spaziale presenta collegamenti e aperture diversi da quelli di Schwarz P. La possibilità di ruotarla aiuta a seguirne i passaggi e a distinguere le regioni separate dalla superficie.

Formula, descrizione e fonti

Fisica e topologia

Osserva la figura

Segui le sezioni che percorrono la superficie e ruota la figura per distinguere le ramificazioni che si sovrappongono nella vista iniziale, confrontando i restringimenti e le aperture della porzione nodale rappresentata.

Legenda della figura

Verde — sezioni nei piani x e z costanti
Azzurro — sezioni nei piani y costante
Ambra — sezione di riferimento z = 0

Formula o costruzione

cos(x)cos(y)cos(z) − sin(x)sin(y)sin(z) = 0

Lettura della relazione

Il prodotto dei coseni di x, y e z, diminuito del prodotto dei seni delle stesse coordinate, è uguale a zero.

Come leggere il modello

Questa equazione periodica è una rappresentazione nodale della famiglia D, con un’opportuna scelta dell’origine. Non è una struttura atomica rilassata. Sono esclusi minuscoli frammenti isolati prodotti dal taglio al bordo del dominio.

Schwarziti e superfici periodiche — ricerca originale ↗

Schwarzite P688

Gli esagoni del reticolo carbonioso rimangono visibili mentre la trama si incurva attorno alle aperture; gli ottagoni raccordano le regioni a sella, nelle quali i legami permettono di seguire il restringimento e la successiva riapertura della struttura.

Formula, descrizione e fonti

Carbonio e curvatura negativa

Osserva la figura

Segui gli anelli a sei atomi sulle pareti curve e riconosci gli ottagoni che li collegano attraverso il collo. Ruotando il reticolo puoi seguire la ripetizione delle cavità lungo le tre direzioni dello spazio, mentre gli esagoni ne disegnano le pareti curve e i colli raccordano celle adiacenti. La vista «Due curvature» traccia una sezione azzurra lungo il collo e una sezione ambra trasversale, che nel punto chiaro seguono direzioni principali e si piegano in versi opposti. La vista «Struttura P688» amplia il campo alla continuità fra le cavità.

Legenda della figura

Verde — legami carbonio–carbonio
Chiaro — atomi nei vertici del reticolo

Formula o costruzione

cos(2πx) + cos(2πy) + cos(2πz) = 0
K = k₁ · k₂ < 0 nel collo rappresentato.
P688: cella cubica Im-3m, a = 7,828 Å, 48 atomi per cella.

Lettura della relazione

La somma dei coseni di due pi greco per ciascuna coordinata è zero. La curvatura gaussiana K è il prodotto delle curvature principali k uno e k due, che nel collo hanno segni opposti: il prodotto è negativo.

Come leggere il modello

Gli atomi mantengono le coordinate P688 ricostruite dal sito cristallografico (0,31952; 0,31952; 0,09373) e dalle simmetrie Im-3m; i legami corrispondono ai primi vicini, fra 1,452 e 1,467 Å. La vista iniziale comprende otto celle disposte 2×2×2, con 384 atomi, 64 esagoni e 48 ottagoni completi; la vista d’insieme estende la periodicità a 27 celle disposte 3×3×3, per un totale di 1.296 atomi. I bordi interrompono gli anelli e i legami che proseguirebbero nel reticolo periodico. Le facce scure entro gli anelli aiutano a distinguere i legami anteriori da quelli posteriori, senza costituire una parete fisica. La superficie continua compare nella vista «Due curvature», come guida nodale della famiglia Schwarz P; la sua curvatura media può discostarsi da zero rispetto alla superficie minima esatta. La geometria del carbonio e la superficie di riferimento rimangono due descrizioni distinte. Colori, illuminazione e leggere traslazioni delle linee guida servono alla lettura; le coordinate atomiche conservano le distanze del modello pubblicato, a meno della scala uniforme. Il modello rappresenta una struttura teorica, senza introdurre una nuova ottimizzazione energetica.

Mélinon — Vitreous Carbon, Geometry and Topology, tabella 8 ↗

Gandy et al. — Nodal surface approximations to the P, G, D and I-WP triply periodic minimal surfaces ↗

De Corato et al. — Topological versus physical and chemical properties ↗

Deformazione fuori piano

Il reticolo ideale viene spostato fuori dal piano secondo un campo regolare. Si può osservare come una deformazione cambi la forma del nastro, lasciando riconoscibile la connettività del reticolo.

Formula, descrizione e fonti

Nanostrutture di carbonio

Osserva la figura

Segui gli esagoni lungo il foglio, osservando come la deformazione fuori piano ne modifichi la proiezione senza cambiare i collegamenti; i piccoli vertici azzurri e ambra distinguono il segno dello spostamento sintetico, mentre i legami rendono continua la lettura del reticolo.

Legenda della figura

Verde — collegamenti del reticolo
Azzurro — vertici con spostamento z positivo
Ambra — vertici con spostamento z nullo o negativo

Formula o costruzione

uᶻ(x,y) = 1.1 sin(0.7x) cos(0.42y)

Lettura della relazione

Lo spostamento lungo z è uno virgola uno per il seno di zero virgola sette x, moltiplicato per il coseno di zero virgola quarantadue y.

Come leggere il modello

Il campo è sintetico. Non è un modo normale calcolato dalla matrice dinamica, non riproduce una frequenza Raman e non rappresenta un risultato ab initio dell’autore. La figura distingue intenzionalmente deformazione geometrica e analisi vibrazionale fisica.

Pubblicazioni sulle proprietà vibrazionali ↗

Connessioni a curvatura negativa

Curve longitudinali e sezioni circolari descrivono tre famiglie di colli. Il modello mette in evidenza il passaggio fra regioni e il ruolo della curvatura nelle connessioni spaziali.

Formula, descrizione e fonti

Geometria delle nanostrutture

Osserva la figura

Confronta le tre famiglie di curve, che distinguono colli orientati lungo assi differenti, e, partendo dagli anelli color ambra nelle strozzature, segui le curve longitudinali verso le sezioni più larghe, ruotando la figura per separare i passaggi che si sovrappongono nella proiezione.

Legenda della figura

Verde — famiglia di colli lungo z
Azzurro — famiglia di colli lungo x
Chiaro — famiglia di colli lungo y
Ambra — sezioni minime dei tre colli

Formula o costruzione

r(u,v) = (0.64 cosh(v)cos(u), 0.64 cosh(v)sin(u), v)
Tre famiglie di colli, orientate lungo assi differenti.

Lettura della relazione

Le prime due coordinate descrivono una circonferenza di raggio zero virgola sessantaquattro per coseno iperbolico di v, mentre la terza è v; i colli sono orientati lungo tre direzioni.

Come leggere il modello

È una costruzione geometrica composta da colli iperbolici scalati lungo gli assi. Non è un modello atomistico di schwarzite: non codifica coordinazione del carbonio, stabilità o lunghezze di legame. La fonte documenta il rapporto scientifico tra topologia e carbonio a curvatura negativa.

De Corato et al. — Topological versus physical and chemical properties ↗

Fullerene C₆₀

La trama esagonale si chiude in una gabbia quando dodici pentagoni ne modificano l’organizzazione, consentendo di osservare come la disposizione degli anelli accompagni la curvatura di una superficie carboniosa chiusa.

Formula, descrizione e fonti

Gabbie carboniose e curvatura positiva

Osserva la figura

Segui il bordo di un pentagono e confrontalo con gli esagoni adiacenti, quindi ruota la gabbia per riconoscere la continuità della rete. Ogni atomo collega tre legami, mentre l’insieme degli anelli chiude la superficie; il confronto con la schwarzite permette di passare dalla gabbia convessa alle aperture periodiche a sella.

Legenda della figura

Verde — legami della gabbia
Chiaro — atomi di carbonio
Tonalità calda — facce pentagonali

Formula o costruzione

V = 60, E = 90, F = 32
12 pentagoni + 20 esagoni
V − E + F = 2; ogni vertice ha tre vicini.

Lettura della relazione

Sessanta vertici e novanta spigoli delimitano trentadue facce, dodici pentagonali e venti esagonali. La differenza fra vertici e spigoli, sommata alle facce, vale due.

Come leggere il modello

Il modello usa un icosaedro troncato ideale, con legami di uguale lunghezza; il C₆₀ molecolare presenta lunghezze di legame differenti. Le facce scure aiutano a leggere la profondità e i pentagoni ricevono una tonalità più calda. Questa figura introduce la famiglia dei fullereni; il lavoro sui due clatrati C₂₈, raggiungibile fra i riferimenti, riguarda strutture cristalline distinte, la cui costruzione richiede coordinate specifiche.

Kroto et al. — C₆₀: Buckminsterfullerene ↗

De Corato et al. — Two C₂₈ Clathrates ↗

La scheda del lavoro sui clatrati C₂₈ ↗

Nanonastri di grafene

Il taglio del foglio di grafene lascia una sequenza di atomi sul bordo, dalla quale dipendono caratteristiche che la spettroscopia e i calcoli permettono di indagare; le due viste rendono riconoscibili le terminazioni armchair e zigzag.

Formula, descrizione e fonti

Bordi atomici e firme vibrazionali

Osserva la figura

Osserva le coppie di atomi che scandiscono il bordo armchair, poi passa alla vista zigzag, nella quale il profilo procede lungo una sequenza differente. Segui il reticolo verso l’interno per riconoscere gli stessi esagoni, mentre le estremità mostrano il limite del frammento rappresentato.

Legenda della figura

Verde — legami del nanonastro
Chiaro — atomi di carbonio

Formula o costruzione

Reticolo a nido d’ape: due atomi per cella primitiva.
Primi vicini: dᵢⱼ = 1 nelle unità del modello.
Bordi armchair e zigzag: due orientazioni della stessa rete.

Lettura della relazione

Il reticolo piano ha due atomi per cella primitiva e legami di lunghezza unitaria nel modello. La direzione del taglio determina la terminazione armchair o zigzag.

Come leggere il modello

I frammenti finiti contengono rispettivamente 80 e 84 atomi di carbonio. Le coordinate descrivono un reticolo ideale piano; gli idrogeni e altri gruppi terminali sono omessi. Le due viste hanno dimensioni finite differenti e servono a confrontare il disegno dei bordi. I lavori Raman e HREELS collegati studiano strutture specifiche mediante misure e calcoli: le figure costituiscono un’introduzione geometrica, mentre assegnazioni dei picchi e frequenze richiedono i rispettivi risultati sperimentali e teorici.

Cavani, De Corato et al. — Vibrational signature of the graphene nanoribbon edge structure ↗

Verzhbitskiy, De Corato et al. — Raman Fingerprints of Atomically Precise Graphene Nanoribbons ↗

Son, Cohen e Louie — Energy Gaps in Graphene Nanoribbons ↗

Il lavoro sulle firme vibrazionali dei bordi ↗

Il lavoro sulle firme Raman ↗

Nanonastro deformato

La torsione porta gli esagoni fuori dal piano e modifica l’orientazione delle regioni del nastro, offrendo un ingresso visivo allo studio delle relazioni fra distorsione strutturale e proprietà elettroniche delle nanostrutture grafeniche.

Formula, descrizione e fonti

Forma del reticolo e struttura elettronica

Osserva la figura

Segui un bordo da un’estremità all’altra e osserva come ruoti attorno all’asse lungo del nastro; confronta poi gli anelli centrali con quelli alle estremità, usando la rotazione del modello per separare la torsione dalla prospettiva.

Legenda della figura

Verde — legami del nastro deformato
Chiaro — atomi di carbonio

Formula o costruzione

R(x,y) = (x, y cos θ(x), y sin θ(x))
θ(x) = 0,16 x
Connettività del nastro piano conservata.

Lettura della relazione

Ogni coordinata trasversale del nastro ruota di un angolo che cresce linearmente lungo l’asse. La lista dei legami resta la stessa del nastro piano.

Come leggere il modello

La trasformazione è una deformazione geometrica illustrativa applicata a 80 atomi; conserva le connessioni, mentre modifica alcune distanze e gli angoli di legame. Il parametro di torsione è scelto per la visualizzazione. Il lavoro del 2018 studia nanonastri specifici e il controllo della distorsione: la figura aiuta a porre il problema, senza rappresentarne una struttura ottimizzata, un valore di bandgap o un modo vibrazionale calcolato.

Hu, De Corato et al. — Bandgap Engineering of Graphene Nanoribbons by Control over Structural Distortion ↗

La scheda del lavoro sulla distorsione strutturale ↗

Nanoframmenti a doppio strato

Due frammenti di grafene sovrapposti permettono di seguire come lo spostamento relativo cambi il registro degli anelli, introducendo il ruolo delle interazioni fra strati nello studio delle proprietà ottiche.

Formula, descrizione e fonti

Sovrapposizione e proprietà ottiche

Osserva la figura

Ruota il modello fino a distinguere i due piani, quindi passa dagli strati traslati a quelli allineati: gli anelli rimangono identici all’interno di ciascun frammento, mentre cambiano le posizioni relative degli atomi che si fronteggiano.

Legenda della figura

Verde — legami di un frammento
Azzurro — legami dell’altro frammento
Chiaro — atomi dei due strati

Formula o costruzione

R₂ = R₁ + (Δx, 0, h)
h = 2,36 dCC; Δx = 1 dCC oppure 0
Due grafi distinti, senza legami covalenti fra gli strati.

Lettura della relazione

Il secondo frammento si ottiene dal primo mediante una traslazione orizzontale e una separazione verticale costante. I legami disegnati appartengono ai singoli strati.

Come leggere il modello

Il modello comprende due frammenti ideali di 40 atomi ciascuno, con separazione fissata e traslazione scelta a scopo illustrativo; idrogeni, gruppi funzionali e orbitali sono omessi. I colori distinguono gli strati. Le configurazioni allineata e traslata conservano la geometria di ciascun frammento, mentre i risultati ottici del lavoro collegato derivano da calcoli su sistemi specifici: la figura rappresenta disposizione e sovrapposizione, senza simulare assorbimento o trasferimento di carica.

De Corato et al. — Optical Properties of Bilayer Graphene Nanoflakes ↗

La scheda del lavoro sui nanoframmenti a doppio strato ↗

Geometria e frattali

Insieme di Julia

La stessa regola iterata produce bordi complessi fra punti che fuggono e punti che restano limitati. Il colore dipende dal tempo di fuga e rende visibili dettagli a scale differenti.

Formula, descrizione e fonti

Frattali e sistemi dinamici

Osserva la figura

La vista iniziale presenta il piano frontalmente, così puoi avvicinare i bordi e confrontare le variazioni del tempo di fuga senza che l’inclinazione nasconda i dettagli; la rappresentazione conserva il limite di 180 iterazioni e la risoluzione disponibile.

Legenda della figura

Verde — fasce chiare e scure: codifica periodica del tempo di fuga, priva di una scala cromatica monotona

Formula o costruzione

zₙ₊₁ = zₙ² + c
c = −0.74543 + 0.11301i

Lettura della relazione

A ogni iterazione si eleva al quadrato il numero complesso z e si aggiunge c, che vale meno zero virgola sette quattro cinque quattro tre più zero virgola uno uno tre zero uno per l’unità immaginaria.

Come leggere il modello

Il frattale è piano. Il visualizzatore consente di orientarne il piano nello spazio, senza inventare un volume tridimensionale. Il disegno usa 180 iterazioni: è un’approssimazione finita, non una rappresentazione di tutti i dettagli matematici.

SageMath — Mandelbrot and Julia sets ↗

Tetraedro di Sierpiński

Quattro copie ridotte occupano i vertici di un tetraedro. Ripetendo la costruzione si ottiene una struttura nella quale lo spazio vuoto assume un’organizzazione altrettanto riconoscibile di quella dei solidi.

Formula, descrizione e fonti

Frattali

Osserva la figura

Segui gli spigoli luminosi dei tetraedri e confronta le aperture ai diversi livelli della costruzione, ruotando la figura per distinguere i vuoti interni dalle sovrapposizioni che una singola proiezione può produrre.

Legenda della figura

Verde — spigoli dei tetraedri
Scuro — facce dei solidi, distinte dai vuoti

Formula o costruzione

S = ⋃ᵢ₌₁⁴ fᵢ(S),  fᵢ(x) = (x + vᵢ)/2
Dimensione autosimilare: log(4)/log(2) = 2

Lettura della relazione

L’insieme è l’unione di quattro copie ottenute dimezzando la somma fra un punto e ciascun vertice; la dimensione autosimilare è logaritmo di quattro diviso logaritmo di due, uguale a due.

Come leggere il modello

La scena mostra tre livelli di ricorsione, quindi 64 tetraedri. La dimensione indicata riguarda il limite matematico, non l’oggetto finito renderizzato.

Wolfram — SierpinskiMesh ↗

Spugna di Menger

La suddivisione del cubo in 27 parti, seguita dalla rimozione di sette, genera una struttura di cavità comunicanti. La ricorsione riproduce questa organizzazione a scale progressivamente più piccole.

Formula, descrizione e fonti

Frattali

Osserva la figura

Osserva il cubo attraverso le aperture maggiori e segui gli spigoli delle cavità più piccole, mentre la rotazione lascia emergere i passaggi interni; le facce condivise fra cubi adiacenti sono omesse dal disegno per rendere leggibile la stessa struttura di 400 celle.

Legenda della figura

Verde — spigoli esterni e delle cavità
Scuro — facce esposte dei cubi

Formula o costruzione

M = ⋃ᵢ₌₁²⁰ fᵢ(M),  rapporto di scala = 1/3
Dimensione autosimilare: log(20)/log(3)

Lettura della relazione

L’insieme è l’unione di venti copie ridotte a un terzo della scala; la dimensione autosimilare è logaritmo di venti diviso logaritmo di tre.

Come leggere il modello

Sono visualizzati due livelli, corrispondenti a 400 cubi. Le proprietà del limite infinito non devono essere attribuite senza distinzione a questo modello finito.

Wolfram — MengerMesh ↗

Nastro di Möbius

Una mezza torsione prima di congiungere gli estremi cambia il rapporto fra bordo e superficie. Seguendo il nastro si può esplorare una forma nella quale la distinzione locale fra due lati non si estende a una scelta globale.

Formula, descrizione e fonti

Topologia e forma

Osserva la figura

Segui il bordo color ambra lungo il nastro fino a ritrovare il punto di partenza, osservando come un unico percorso attraversi entrambi i margini apparenti, mentre il reticolo rende visibile la mezza torsione della superficie.

Legenda della figura

Verde — maglia della superficie
Ambra — unico bordo continuo del nastro

Formula o costruzione

r(u,v) = ((1+0.35v cos(u/2))cos(u),
          (1+0.35v cos(u/2))sin(u), 0.35v sin(u/2))
0 ≤ u ≤ 2π,  −1 ≤ v ≤ 1

Lettura della relazione

Il parametro u percorre un giro completo, mentre v varia fra meno uno e uno; la larghezza, scalata di zero virgola trentacinque, ruota di mezzo giro attorno alla circonferenza centrale.

Come leggere il modello

La formula parametrizza un nastro di Möbius. Il richiamo al movimento corporeo è personale e geometrico; non attribuisce proprietà topologiche o effetti terapeutici alla pratica dello yoga.

SageMath — Parametric surface, MoebiusStrip ↗

Elicoide

Una retta ruota mentre avanza lungo un asse, generando una superficie rigata. La relazione fra rotazione e traslazione permette di seguire la continuità della forma da punti di vista differenti.

Formula, descrizione e fonti

Calcolo e geometria differenziale

Osserva la figura

Segui i bordi color ambra e confrontali con le generatrici rettilinee del reticolo, osservando come la rotazione intorno all’asse si accompagni a una traslazione verticale nella costruzione della superficie.

Legenda della figura

Verde — maglia e generatrici rettilinee
Ambra — due bordi elicoidali esterni

Formula o costruzione

r(u,v) = (u cos(v), u sin(v), 0.23v)

Lettura della relazione

Le prime due coordinate sono u coseno v e u seno v, mentre la quota è zero virgola ventitré v, così che la rotazione accompagna una traslazione verticale.

Come leggere il modello

È una porzione finita di un elicoide parametrico. La rotazione del visualizzatore riguarda la camera; non modifica il passo della superficie.

SageMath — Helicoid ↗

Catenoide

La rotazione di una catenaria genera una superficie con un collo centrale. Il contrasto fra le due curvature principali rende leggibile una geometria che ricorre nello studio delle superfici minime.

Formula, descrizione e fonti

Geometria differenziale

Osserva la figura

Confronta l’anello color ambra al collo con le sezioni più larghe e segui le curve longitudinali, ruotando la superficie per riconoscere la curvatura del profilo insieme a quella delle sezioni circolari.

Legenda della figura

Verde — meridiani e sezioni circolari
Ambra — circonferenza minima al collo

Formula o costruzione

r(u,v) = (0.8 cosh(v)cos(u),
          0.8 cosh(v)sin(u), 0.8v)

Lettura della relazione

A quota zero virgola otto v, la sezione circolare ha raggio zero virgola otto per il coseno iperbolico di v; l’angolo u percorre la circonferenza.

Come leggere il modello

È una porzione parametrica di catenoide, discretizzata per lo schermo. La costruzione illustrata non simula la stabilità di una pellicola saponosa o un esperimento fisico.

SageMath — Catenoid ↗

Toro

Due coordinate periodiche percorrono la superficie lungo direzioni distinte. La cavità centrale e la continuità dei percorsi ne fanno una forma utile per ragionare su periodicità e topologia.

Formula, descrizione e fonti

Geometria e periodicità

Osserva la figura

Segui il ciclo color ambra lungo l’anello e confrontalo con la sezione chiara che gira intorno al tubo, usando il reticolo per distinguere le due direzioni periodiche anche quando una parte della superficie scompare dietro la cavità centrale.

Legenda della figura

Verde — maglia della superficie
Ambra — ciclo lungo l’anello
Chiaro — ciclo attorno al tubo

Formula o costruzione

r(u,v) = ((R+r cos(v))cos(u),
          (R+r cos(v))sin(u), r sin(v))
R = 1,  r = 0.38

Lettura della relazione

Una circonferenza di raggio zero virgola trentotto ruota attorno all’asse centrale a distanza uno; u individua la posizione lungo l’anello e v quella lungo la sezione del tubo.

Come leggere il modello

Il toro è qui un oggetto geometrico parametrico. Non rappresenta automaticamente uno spazio degli stati o una particolare struttura materiale.

SageMath — Torus ↗