Perché Topological Manifolds.
Coordinate locali, forme e percorsi di conoscenza.
In matematica, una varietà topologica è uno spazio di Hausdorff e a base numerabile, in cui ogni punto possiede un intorno omeomorfo a un aperto di uno spazio euclideo di dimensione fissata. La superficie di una sfera e quella di un toro sono esempi bidimensionali, benché vengano comunemente rappresentate nello spazio tridimensionale.
Le descrizioni locali sono chiamate carte; un insieme di carte che ricopre la varietà forma un atlante. La nozione topologica richiede che i cambiamenti di coordinate siano continui e invertibili. La differenziabilità, e quindi la possibilità di formulare il calcolo differenziale attraverso carte compatibili, è una struttura aggiuntiva: la parola topological nel nome richiama anzitutto le proprietà topologiche.
Il plurale del nome richiama il rapporto fra le descrizioni locali e le differenti strutture globali. Nel sito, ricerca, insegnamento, scrittura e percorsi personali conservano la propria specificità. La geometria è un riferimento nato dagli studi scientifici e ritrovato anche nell’esplorazione corporea delle forme.
Sfera
La superficie della sfera ha dimensione due: per individuare un punto bastano due coordinate locali. Una singola carta non copre l’intera sfera; occorrono più descrizioni, come avviene con le carte della Terra. Nel disegno è evidenziata una piccola regione coordinata.
Toro
Anche la superficie del toro ha dimensione due. Localmente si descrive come una regione del piano, mentre la struttura globale è diversa da quella della sfera. Le curve del disegno seguono le due direzioni della parametrizzazione; i parametri angolari sono periodici e vanno usati localmente come coordinate.
Nastro di Möbius
Il nastro di Möbius è una superficie non orientabile con bordo. I punti interni hanno intorni descrivibili con due coordinate; vicino al bordo il modello locale è un semipiano. Il suo esempio distingue la descrizione locale dalle proprietà globali della superficie.
Il colore evidenzia una regione locale della superficie. Le figure descrivono proprietà matematiche e non rappresentano misure sperimentali. L’atlante interattivo contiene altri oggetti, fra cui frattali, grafi e modelli illustrativi, che non sono tutti varietà.
Conoscenza, realtà, esperienza
Nel passo del Timeo ritrovo una domanda sul rapporto fra l’ordine con cui cerchiamo di comprendere il mondo e le condizioni entro le quali esso prende forma, attraverso una tensione che continua a interessarmi nello studio dei modelli.
Leggi il passo
“La mente, principio sovrano, persuase la necessità a condurre alla perfezione la maggior parte delle cose generate; così, all'origine, l'universo fu creato in questo modo, attraverso la necessità assoggettata alla ragione.”
Leggo questo passo come un invito a interrogare il ruolo delle domande e delle misure nella descrizione della realtà fisica, poiché ogni rappresentazione scientifica richiede di chiarire attraverso quali operazioni un fenomeno diventi conoscibile.
Leggi il passo
“It from bit. In altre parole, ogni cosa — ogni particella, ogni campo di forza, persino lo stesso continuo spazio-temporale — trae la propria funzione, il proprio significato e la propria stessa esistenza interamente — anche se, in alcuni contesti, indirettamente — dalle risposte ottenute mediante apparati a domande cui si può rispondere sì o no: scelte binarie, bit. It from bit esprime l'idea che ogni elemento del mondo fisico abbia, alla propria base — a un livello profondissimo, nella maggior parte dei casi —, un'origine e una spiegazione immateriali.”
Nel confronto con la montagna riconosco una relazione fra intenzione e possibilità concrete che, mentre espone il limite delle aspettative, restituisce al cammino e all’arrampicata il carattere di esperienze attraverso cui conoscere anche il proprio modo di giudicare.
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“[Whymper] amava mettere alla prova il proprio spirito contro un avversario formidabile — sul piano fisico come su quello morale — per vedere chi avrebbe avuto la meglio. Scoprì allora che le montagne erano più dure di lui, di una durezza terribile, e infine cedette. Ma, per giungere a questa scoperta, aveva vissuto gli anni più appassionati della sua vita.”